Los errores cognitivos desde la perspectiva del juego de probabilidad – El problema de Monty Hall

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Leandro Castelluccio

 

Imagen obtenida de Wikipedia (ver en: https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem)

Rara vez nos percatamos de cómo nuestra capacidad para separar, dividir o segmentar cosas interfiere con la capacidad de ver los hechos tal cual son, simples, y que se presentan ante nuestros sentidos de forma directa. Aquí plantearé esta cuestión en relación a un juego de probabilidad.

Existe un problema estadístico interesante que trata con contingencias, donde intuitivamente nos parece que una cosa es cierta pero lo contrario sería verdad. Considero relevante el tema puesto que nuestra propensión a pensar en múltiples posibilidades basadas en la separación y segmentación, en el rebuscado intelecto tratando de ver algo difícil en lo simple, puede desviaros de las soluciones sencillas y correctas. Para ver un ejemplo del mismo, con la sugerida solución, puede ingresar en el siguiente link.

¿Cuál es el asunto aquí? Pues tenemos 3 puertas, dos de las cuales contienen una cabra y una tercera que tiene el premio: un auto. Tenemos la oportunidad de seleccionar una puerta al principio. Luego de esto, el encargado de la prueba, o el presentador del programa, abre una de las puertas restantes mostrando una de las cabras, en ese momento nos da la opción de quedarnos con la puerta que hemos elegido o cambiarla por la puerta restante. Según los planteos respecto a la solución del problema, la estrategia correcta es siempre cambiar de puerta y no mantener la que habíamos seleccionado. ¿Por qué es esto? Pues las probabilidades estarían en contra de lo contrario. Consideremos:

Captura de pantalla 2017-11-06 a la(s) 19.57.39

Si seleccionamos la primera puerta tenemos un tercio de posibilidades de que el auto esté detrás de ella. Ahora, las dos puertas restantes, en conjunto, representan el restante dos tercios. De forma que cuando el presentador elimina una de estas dos posibilidades de la derecha, teniendo en cuenta la situación inicial, la probabilidad de que el auto esté en la puerta restante de la derecha es mayor, de forma que la estrategia óptima sería cambiar de puerta:

Captura de pantalla 2017-11-06 a la(s) 20.02.06

Ahora, veamos lo que sucede cuando pensamos en otras posibilidades. Podría considerarse que existe un sesgo cognitivo en el asunto, y este refiere al grupo de puertas que le asignamos la probabilidad restante. Tengamos en cuenta que cualquier combinación de dos puertas, incluyendo o no la que ha sido seleccionada al principio, contendría 2/3 de probabilidad de contener el auto:

 

Como vemos en los ejemplo anteriores, podríamos considerar que la primera y última puerta representan los 2/3 de probabilidad de contener el auto y la restante del medio el 1/3. O en el segundo ejemplo, podríamos considerar que la primera y segunda puerta contienen los 2/3 de probabilidad de contener el auto, y la puerta tercera el restante 1/3.

De forma que, considerar que los 2/3 de probabilidad de hallarse el auto detrás de alguna de las puertas dos o tres (la de medio y la tercera a la derecha) parecería en principio un sesgo o error en nuestro razonamiento, teniendo en cuenta que cualquier combinación de dos puertas contendría los 2/3 de probabilidad.

Ahora consideremos esto teniendo en cuenta que las reglas se mantienen y el sujeto escoge la primera puerta. El sujeto que elige la primera puerta puede ir pensando que cualquiera de la primera o la segunda contiene el auto, entre ambas hay 2/3 de probabilidad, y la tercera restante contiene el tercio restante. De forma que cuando el presentador elimina la opción del medio, el sujeto diría que habría mayor probabilidad de que el auto esté en la primera puerta elegida, ya que la primera y la segunda contenían los 2/3, en tal caso la estrategia óptima sería quedarse con la puerta elegida, bajo esa perspectiva y esa línea de pensamiento. Ahora, si el sujeto fuese con la idea de que tanto la primera como la última puerta contienen los 2/3, al eliminar la opción del medio, que era el tercio restante, el sujeto sigue con la incertidumbre, pues la primera más la última opción contienen los 2/3 de probabilidad de contener el auto, bajo tal perspectiva. Pero si sumamos la primera perspectiva de los 2/3 en la primera y segunda puerta, también aquí podría decirse que la estrategia es mantener la elección. Debemos tener en cuenta el hecho de que el presentador tiene conocimiento de cuál es la puerta que contiene el auto, y que cuando elimina una de las opciones, sólo puede hacerlo respecto a una puerta que contiene una cabra y no el premio del auto pero bajo las perspectivas anteriores las estrategias parecen cambiar, es verdad que teniendo en cuenta que los 2/3 están en la segunda y tercera puerta la estrategia sería cambiar, pero no bajo las perspectivas anteriores en conjunto, por lo que frente a la misma situación tendríamos estrategias contradictorias dependiendo del punto de vista que adoptemos. En sí tenemos una estrategia que nos dice mantengamos la elección y otra cambiar, y una tercera de incertidumbre que según que postura adoptamos, la podemos llevar hacia la estrategia de mantenernos o cambiar.

Lo mismo sucedería si la persona elige la puerta dos o tres. Consideremos que en el caso anterior la puerta que escogió, la primera, era la que contenía el auto. Ahora consideremos que la primera puerta sigue siendo la que contiene el auto, pero el sujeto escoge la dos, aun considerando que la puerta uno y dos representan los 2/3. En ese caso si el presentador elimina la puerta 3 (que es la única que puede eliminar), entonces la persona queda en la misma posición de incertidumbre mencionada antes, pero sumándole la otra perspectiva, la de que los 2/3 representan la puerta 2 y 3, entonces cuando el presentador elimina la puerta 3, entonces la estrategia sería mantener la elección, y de nuevo bajo la consideración que los 2/3 son la puerta 1 y 3, entonces el sujeto debería cambiar, tenemos de nuevo estrategias contradictorias según qué 2/3 consideremos, pero ambas serían factibles según el intelecto, cuando llevamos a cabo el trabajo de segmentar y dividir.

Bajo lo anterior, uno podría concluir que cualquier estrategia es válida. Pero si tomamos en cuenta la tercera posibilidad, escoger la tercera puerta cuando la primera contiene el auto, aunque las estrategias contradictorias surgen de nuevo, podemos ver un patrón al tener en cuenta las posibilidades anteriores. En el primer caso la estrategia era mantenerse para conseguir el auto, en el segundo cambiar conseguía el auto, y en el tercero también cambiar consigue el auto. De forma que 2 de cada 3 veces se obtiene el auto si uno cambia su elección inicial, aun considerando que cualquier 2/3 de combinaciones de puertas es válido y nos arroja estrategias contradictorias o inciertas. Estas elucubraciones dejan de lado el hecho simple de que cuando uno elige tiene solo 1/3 de posibilidades de elegir el auto, el resto son conjeturas y pensamientos, ese es el hecho básico, por lo que cambiar siempre tendrá más probabilidades de éxito porque la opción restante contiene un auto 2 de cada 3 veces.

En general muchas veces nos embaucamos en nuestros propios pensamientos, dividimos, clasificamos, segmentamos las cosas, y ello juega en contra de la observación de los hechos concretos, simples. De hecho muchas personas continúan argumentando otras posibilidades respecto a este problema, obviando este hecho simple. Y sucede en muchos ámbitos del quehacer de las personas, quizás la moraleja de todo esto sea observar los hechos, y considerar la simpleza de las cosas, donde suele estar la verdad y las soluciones.

En el siguiente link puede realizar una simulación del problema y ver las distintas probabilidades.

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